Napęd posuwowy, jest niezbędnym napędem do poprawnej pracy każdej obrabiarki, nie tylko sterowanej numerycznie. Jego zadaniem jest wprawianie w ruch (najczęściej liniowy) przedmiotu obrabianego względem obracającego się narzędzia – w przypadku frezarki lub poruszanie narzędziem względem obracającego się przedmiotu – w przypadku tokarki.

W tym artykule postaram się przedstawić podstawowe obliczenia oraz uwagi dotyczące napędu śrubowego trapezowego.

Spis treści:

1. Określenie warunków początkowych

2. Maksymalna możliwa siła

3. Przykład pierwszy

4. Teoretyczna sprawność połączenia gwintowego

5. Dobór napędu śrubowego do obrabiarki

 

1. Określenie warunków początkowych

Na samym początku trzeba określić warunki początkowe, czyli jakie dane mamy, a które chcemy obliczyć. Toków obliczeń jest wiele, jednak w każdym z przypadków wzory będą te same, odpowiednio przekształcone.

Załóżmy zatem, że posiadamy pewien zestaw napędowy w postaci silnika krokowego oraz śruby napędowej wraz z nakrętką. Parametry naszego zestawu są następujące:

Silnik krokowy:

- maksymalny moment obrotowy M = 1,9 Nm,

- maksymalna prędkość obrotowa n = 750 obr/min,

Śruba + nakrętka:

- zarys gwintu Tr 16x4,

- śruba wykonana ze stali, gwint walcowany,

- nakrętka wykonana z brązu,

- współczynnik tarcia między śrubą, a nakrętką zakładamy µs = 0,12.

Należy także uwzględnić charakterystykę momentu obrotowego względem prędkości obrotowej w silniku krokowym. W przypadku popularnych silników możemy liczyć na tego typu wykresy nawet ze strony producenta, większych forów tematycznych lub w ostateczności zbadać to samemu. Na temat badania momentu obrotowego silników powstanie w przyszłości oddzielny artykuł. Tym czasem, musimy posiłkować się danymi z katalogów dostępnych w Internecie.

W moich obliczeniach będzie wykorzystany maksymalny moment obrotowy silnika, choć nic nie stoi na przeszkodzie, aby policzyć interesujące wartości dla całego zakresu momentu obrotowego.

 

2. Maksymalna możliwa siła

Dla łatwiejszego zrozumienia wymiarów, przedstawiam rysunek 1 z wymiarowaniem każdej ze średnic.

 

Rysunek 1. Wymiary dla gwintu trapezowego symetrycznego

 

Parametry wybranego gwintu Tr 16x4 są następujące:

d – średnica nominalna gwintu: 16 mm,

P – skok (podziałka) gwintu: 4 mm,

d3 – średnica wewnętrzna (rdzenia) śruby: 11,5 mm,

d2 = D2 – średnia średnica współpracy

D1 – średnica wewnętrzna nakrętki: 12 mm,

D4 – średnica zewnętrzna gwintu nakrętki: 16,5 mm.

Na początku należy obliczyć niezbędne, podstawowe parametry. Pierwszym z nich jest średnia średnica współpracy śruby i nakrętki:

Kolejny parametr, to kąt wzniosu linii śrubowej gwintu, oznaczany literą γ (gamma).

Najprościej jest go policzyć wychodząc z zależności używając funkcji trygonometrycznej tangens:

zatem,

Wartość kąta γ można policzyć na niemal każdym kalkulatorze naukowym, lub też skorzystać z funkcji w arkuszu kalkulacyjnym. Pamiętajcie jednak, że program Excel firmy Microsoft, może obliczy wartość kąta i wyświetlić w radianach.

wzor4

Jako, że napęd śrubowy nie jest idealny, trzeba uwzględnić siłę tarcia między współpracującymi elementami. Należy jednak pamiętać, że rozróżnia się dwa typy sił tarcia: tarcie statyczne oraz tarcie kinetyczne (ruchowe). Aby obliczenia były bardziej zbliżone do rzeczywistości, przyjąłem wyższy współczynnik tarcia, czyli statyczny. Przy sprzyjających warunkach, dobrym smarowaniu możemy liczyć na współczynnik tarcia między stalą, a mosiądzem na poziomie µs = 0,1. Do obliczeń przyjąłem wartość µs = 0,12. Zatem:

gdzie:

ρ’ – pozorny kąt tarcia,

µs - współczynnik tarcia między elementami,

αr – kąt zarysu gwintu, dla trapezowego αr = 15°, dla metrycznego αr = 30°.

Mała uwaga. Wróćmy teraz do rysunku 1, gdzie przedstawiłem podstawowe wymiary gwintu trapezowego. Dla uproszczenia wymiarowania podaje się zazwyczaj kąt 2αr – stąd też kąt αr ma wartość 15° dla gwintu trapezowego symetrycznego.

W tym miejscu muszę zaznaczyć bardzo ważną kwestię. Mianowicie, w połączeniach gwintowych istnieje taka własność, jak SAMOHAMOWNOŚĆ. Można to rozumieć jako brak możliwości napędu śruby poprzez przesuwanie nakrętki. W obrabiarce znaczyłoby to nic innego, jak niemożliwość ręcznego przesuwu modułu osi przy wyłączonym napędzie. Dzięki samohamowności, niemal każda dokręcona nakrętka począwszy od miksera, aż do samochodu, nie odkręca się pod wpływem nacisków osiowych.

Warunek samohamowności jest bardzo prosty i konkretny:

Jeżeli wartość pozornego kąta tarcia (ρ’) jest większa lub równa

co do wartości kąta wzniosu linii śrubowej (γ), to połączenie

jest samohamowne.

Dodatkowo, dzięki tym parametrom, możliwe jest obliczenie teoretycznej sprawności napędu, ale o tym później.

Maksymalną siłę Fs możemy zatem obliczyć z następującej zależności:

Pamiętajmy, aby zamienić wartość momentu obrotowego z Nm na Nmm – przemnażając wartość x1000. W przeciwnym razie, konieczna będzie zamiana średnicy ds na jednostkę m.

wzor8

Obliczona wartość daje już jakiś obraz na osiągi dobranego napędu. Przeliczając uzyskaną siłę z Newtonów na kilogramy dostajemy dokładnie 127 kg. Należy to rozumieć w ten sposób, że poprawnie skonstruowany napęd będzie w stanie utrzymać moduł osi Z ważący do 127 kg. Należy wziąć jeszcze poprawkę na to, że obliczona siła dotyczy maksymalnego momentu generowanego przez silnik. Dlatego też chcąc dokładnie przeanalizować generowaną siłę, trzeba prześledzić wykres momentu obrotowego do prędkości obrotowej silnika.

 

3. Przykład pierwszy

Załóżmy taki scenariusz:

Budujesz maszynę, w której masa modułu osi Z wynosi m = 100kg. Według powyższych obliczeń, tak przyjęty napęd powinien sobie poradzić, a cała maszyna winna pracować poprawnie. Nic bardziej mylnego. Z prostych rachunków wynika, że napęd będzie posiadał zapas mocy, aby móc poruszać modułem do góry.

Specjalnie pomijam obliczenia oraz analizy przy ruchach w dół, gdyż obciążenie napędu jest wtedy wyraźnie mniejsze.

Zatem, nasz napęd dysponuje maksymalną siłą 1247N, natomiast moduł osi Z ma ciężar 981N. Zapas mocy (w zasadzie, siły) wynosi 266N. Dopiero dzięki tej sile, moduł osi Z będzie w stanie poruszać się do góry, a dokładnie móc przyspieszyć na tyle, aby pokonać przyspieszenie ziemskie.

Przejdźmy do wzorów, aby była jasność:

gdzie:

Fn – siła napędowa,

Fs – siła generowana przez silnik,

Fc – siła ciężkości podnoszonego modułu.

Jak łatwo zauważyć, jeżeli siła Fs jest mniejsza lub równa co do wartości sile Fc, to zaprojektowany napęd jest niewystarczający do poruszania modułem.

Z prostego wzoru na siłę, obliczmy wartość przyspieszenia założonego modułu:

Do pełnej analizy napędu potrzeba jeszcze jednej wartości. Mianowicie maksymalnej zakładanej prędkości szybkiego przejazdu (posuwu). W ramach przypomnienia, wybrany silnik osiąga maksymalnie 750 obr/min, a połączony ze śrubą o skoku 4 mm, daje maksymalną prędkość modułu na poziomie 3 m/min. Przeliczając tę wartość na jednostkę m/s otrzymujemy f = 0,05 m/s.

Zatem, jesteśmy w stanie policzyć czas przyspieszania modułu do zakładanej prędkości:

Mając czas rozpędzania modułu, bez trudu można obliczyć drogę tego rozpędu:

Powyższy wynik ma jednostkę metrów. Przeliczając na milimetry otrzymujemy 0,47 mm. Jest to wartość do zaakceptowania, szczególnie przy takim lichym napędzie w porównaniu do stawianych mu obciążeń. Jednak, przekładając to na realia, bezsensowne byłoby wstawianie tak słabego napędu, do tak ciężkiej maszyny. Dodajmy do tego fakt, że bardzo często zachodzi konieczność nagłej zmiany kierunku poruszania się modułu Z, co generuje dodatkowe siły. Jeżeli moc napędu nie będzie miała zapasu, a ustawione parametry w programie zawierać się będą blisko górnych granic, może wystąpić ryzyko zgubienia kroku (w przypadku silnika krokowego).

 

4. Teoretyczna sprawność połączenia gwintowego

Wspominałem także o sprawności napędu śrubowego. Jest ona ściśle związana z dwoma parametrami. Jednym jest kąt wzniosu linii śrubowej – γ, drugim zaś wartość pozornego kąta tarcia - ρ’. Dla założonego gwintu, obydwa kąty mają następującą miarę:

Gwint jest samohamowny, ponieważ γ < ρ’, dlatego też już na wstępnie powinniśmy spodziewać się sprawności poniżej 50%. Przejdźmy zatem do dalszych obliczeń. Wzór na obliczenie teoretycznej sprawności połączenia gwintowego jest następujący:

Jak rozumieć powyższy wynik? Dokładnie w ten sposób, że (teoretycznie) 41,78 % mocy silnika przekazywane jest na poruszany moduł, reszta mocy zużywana jest na pokonanie oporów ruchu oraz generowanie ciepła.

Puśćmy wodze fantazji i zmodyfikujmy nieco nasz napęd. Załóżmy, że zastosujemy nakrętkę z tworzywa sztucznego, a dokładnie PTFE (politetrafluoroetylen), popularnie nazywany teflonem, którego współczynnik tarcia ze stalą osiąga nawet µ = 0,04. Zatem, jak wyglądałaby wtedy sprawność takiego układu?

Jak widać, udało się przekroczyć granicę sprawności 50%, co pokazuje, że połączenie nie jest już samohamowne. Zysk ze sprawności jest ponad 60% względem typowego połączenia stalowej śruby oraz mosiężnej nakrętki. Analizując dalej, możliwa do uzyskania siła na wyjściu napędu wzrasta do Fs = 2043 N. Dzięki temu, przy założonym układzie z przykładu 1, znacznie zmniejszy się ryzyko zgubienia kroku, a cały napęd będzie pracował bardziej dynamicznie.

Niemniej, nie ma róży bez kolców. Wytrzymałość mechaniczna PTFE znacznie odbiega od mosiądzu, dlatego też takie rozwiązanie polecane jest w szczególności do mało obciążonych napędów.

 

5. Dobór napędu śrubowego do obrabiarki

Rozpocznijmy od założeń wstępnych, dzięki nim możliwe będzie przeprowadzenie dalszych obliczeń.

- maksymalna prędkość posuwu f = 6 [m/min],

- droga przyspieszania do maksymalnej prędkości s = 0,1 [mm],

- minimalna dokładność pozycjonowania napędu r = 0,02 [mm],

- podział mikrokoków w sterowniku u = 16 [-],

- ilość kroków na jeden obrót wału silnika k = 200 [-],

- masa poruszanego modułu m = 20 [kg]

- maksymalna wykorzystywana moc silnika (moment obrotowy) w = 75 [%]

- współczynnik tarcia między śrubą, a nakrętką wynosi µs = 0,12.

Jak widać, w założeniach nie pojawiły się wszystkie parametry silnika, a jedynie ilość podstawowych kroków na jeden obrót. Założyłem wartość 200, ponieważ jest to najczęściej stosowana ilość kroków w silnikach. Dzięki tak przygotowanym założeniom, jesteśmy w stanie obliczyć interesujące nas parametry napędu. Przyjąłem także pewne uproszczenie w postaci pominięcia bezwładności rotora w zamian stosując zabezpieczenie – 75 % wykorzystania momentu obrotowego silnika.

Przeliczmy na samym początku, maksymalny skok śruby (bez dodatkowej przekładni) wykorzystując dane:

Oczywiście śrubę o takim skoku będzie bardzo trudno zdobyć, nie wspominając już o jej gabarytach. Dlatego, do dalszych obliczeń przyjmijmy podziałkę P = 8 mm. Śrubę o takim skoku będziemy mogli już bez większych problemów zakupić.

Przeliczmy zatem wyjściową dokładność przy nowo dobranej podziałce:

Analizując dostępne w sprzedaży śruby z gwintem trapezowym o skoku P = 8mm, najmniejszy gwint to Tr 22x8. Jego wymiary średnic są następujące:

d –22 mm,

P – 8 mm,

d3 – 14 mm,

D1 – 15 mm,

D4 – 23 mm,

d2 = D2 – 18 mm.

Mając wybrany skok gwintu oraz znaną minimalną prędkość maksymalnego przejazdu, wyznaczmy prędkość obrotową silnika bez przekładni:

O ile maksymalna częstotliwość generowanych impulsów przez komputer (patrz Jitter) pozwala na taką prędkość silnika, nie trzeba stosować żadnej dodatkowej przekładni zwiększającej obroty. Zakładamy, że takowej nie będziemy instalować, niemniej, nie będzie błędem wprowadzenie jej pod nową zmienną o domyślnej wartości 1:

- przekładnia zwielokrotniająca i = 1 [-].

Kolejnym krokiem w obliczeniach jest wyznaczenie wymaganego momentu obrotowego silnika, aby całość spełniała założone kryteria. Nim przejdziemy do końcowego wzoru, należy policzyć kąt wzniosu linii śrubowej γ oraz pozorny kąt tarcia ρ’.

Dla tak przyjętych parametrów, takie połączenie gwintowe nie jest samohamowne. Możemy spodziewać się sprawności powyżej 50%. Kolejny etap w obliczeniach, to analiza przyspieszeń oraz sił.

Obliczmy wartość ciężaru poruszanego modułu:

 

Następnie, trzeba obliczyć wartość przyspieszenia, jakiego musi doznać moduł, aby mógł przyspieszyć do wymaganej prędkości f. Zatem, zacznijmy od czasu przyspieszania:

Następnie wartość przyspieszenia:

Siła napędowa, potrzebna do rozpędzenia takiej masy ma wartość:

Wymagana siła przekazywana na śrubę napędową oblicza się następująco:

W końcu możemy przejść do wymaganego momentu obrotowego silnika. Oblicza się go z następującego wzoru:

Mając na uwadze fakt, że zakładamy wykorzystywać moment obrotowy silnika w 75%, zatem końcowa, minimalna wartość tego momentu silnika jest następująca:

Zatem, aby taki napęd mógł napędzać założony przez nas moduł, musi dysponować momentem obrotowym co najmniej 2,91 Nm. Dla bezpieczeństwa dołożyliśmy 25% więcej mocy, aby mieć pewność, że silnik podoła zadaniu. Dodatkowo, wykorzystaliśmy przełożenia między wałem silnika, a śrubą 1:1, co oznacza, że można połączyć wał silnika bezpośrednio ze śrubą, lub też zastosować przekładnię zębatą o takiej samej liczbie zębów na obydwu osiach.

W przypadku zastosowania przekładni, czy to redukującej, czy zwielokrotniającej, należy pamiętać o zmianie potrzebnej prędkości obrotowej silnika:

gdzie:

nk – obroty silnika [obr/min],

n – obroty śruby [obr/min],

i – wartość przełożenia przekładni [-].

Na sam koniec, można się pokusić o obliczenie sprawności teoretycznej napędu:

 

Tak jak przewidywaliśmy, sprawność przekroczyła 50%, dlatego też możliwe jest napędzanie śruby przez przesuwanie nakrętki (modułu). Należy to mieć bardzo na uwadze, ponieważ przy zaniku napięcia na silniku napędowym, przy ograniczonym oporze ruchu wyłączonego silnika, może nastąpić samoczynne osuwanie się modułu w dół. Warto zastosować podzespół w charakterze automatycznego hamulca dla tej osi, lub też przeciwwagi dla tego modułu o określonej sile.

 

Podsumowując. Właściwy dobór napędu posuwowego opartego na gwincie trapezowym jest kluczowym elementem w kwestii poprawności działania obrabiarki. Warto pokusić się chociaż o podstawowe obliczenia, aby móc stwierdzić, czy nie zakłada się zbyt mocnego silnika lub też parametry przyspieszeniowe, ustawione w programie sterującym, nie przekraczają wartości granicznych.